Apuntes de clase

A B y C
El elemento humano en la matemática.

El estudiante de aritmética que domina las cuatro primeras reglas de su arte y que ha luchado con éxito con cantidades y fracciones de dinero se encuentra frente a una interminable sucesión de preguntas conocidas como problemas. Estos son cortos cuentos de aventuras e industrias de los cuales se omite el fin y, aunque todos traicionan un fuerte parecido de familia, no están desprovistos de cierto elemento novelesco.

Los personajes de la trama de un problema son tres personas llamadas A, B y C. La forma de la pregunta es generalmente la siguiente:

A, B y C hacen cierto trabajo. A puede hacer tanto trabajo en una hora como B en dos o C en cuatro; encuéntrese cuánto tiempo trabajan.

O así:

-A, B y C están empleados para cavar una zanja, A puede cavar tanto en una hora como B en dos, y B puede cavar dos veces más rápido que C. Encuéntrese cuanto tiempo etc., etc. -

O de este modo

A hace una apuesta de que puede caminar más rápido que B o C. A puede caminar con una velocidad dos veces menor que B y C es sólo un caminante indiferente. Encuéntrese qué distancia, etc., etc." y así sucesivamente.

Las ocupaciones de A, B y C son numerosas y variadas. En las antiguas aritméticas se contentaban con hacer cierto trabajo. Sin embargo, se encontró que esta manera de exponer el caso era demasiado oscura y misteriosa, o posiblemente carecía de encanto romántico. Fue entonces la moda definir el trabajo con mayor claridad y colocarlos en competencia caminando, cavando zanjas, compitiendo en regatas, apilando maderas. A veces entraban en el comercio, en sociedad, y tenían, siempre con su antiguo misterio, cierto capital. Por encima de todo se revelaban en el movimiento. Cuando se cansaban de caminar, A montaba un caballo, o pedía una bicicleta y competía con sus asociados más débiles que iban a pie. Ahora corren en locomotoras, reman, o bien entran en la historia y alquilan diligencias; o a veces se hacen acuáticos y nadan. Si su ocupación es un trabajo real prefieren bombear agua en cisternas, dos de las cuales pierden agua por agujeros en el fondo y una de las cuales es impermeable. A, desde luego tiene la buena; también tiene la bicicleta y la mejor locomotora y el derecho de nadar con la corriente. Hagan lo que hagan, apuestan dinero, pues los tres son buenos deportistas. A siempre gana.

En los primeros capítulos de la aritmética su identidad está oculta bajo los nombres de Juan, Guillermo y Enrique, y apuestan por la división de cubos de madera. En el álgebra se les llama a menudo X, Y y Z. Pero éstos sólo son sus nombres cristianos y en realidad son las mismas personas.

Ahora bien, para aquel que ha seguido la historia de estos hombres a través de las incontables páginas de problemas, que los ha observado en sus horas de ocio divirtiéndose con la madera, y que ha visto cómo se inclinan con la respiración entrecortada, jadeantes en el pleno delirio de llenar una cisterna que tiene un agujero, éstos son algo más que meros símbolos. Aparecen como seres de carne y hueso, hombres vivos con sus propias pasiones, ambiciones y como todos nosotros. Observémoslos a su vez. A es una persona sanguínea, fuerte, de temperamento enérgico, acalorado y de fuerte voluntad. Es él quien propone todas las cosas, quien desafía a B en el trabajo, quien hace las apuestas y obliga a cumplir su voluntad por los otros. Es un hombre de gran fuerza física y de resistencia formidable. Se sabe que ha caminado cuarenta y ocho horas en un trecho, y ha bombeado noventa y seis. Su vida es ardua y llena de peligros. Un error en una suma puede hacerlo cavar durante quince días sin dormir. Un decimal repetido en la respuesta puede matarlo.

B es un hombre tranquilo, apacible, temeroso de A, y dominado por éste, pero muy gentil y fraternal con el pequeño C, el débil. Está completamente en poder de A, pues ha perdido todo su dinero en las apuestas.

El pobre C es un hombre frágil de tamaño menor al normal con un rostro lastimoso. Las caminatas constantes, el cavar y bombear constantes, han destrozado su salud y arruinado su sistema nervioso. Su vida sin alegrías lo ha llevado a beber y a fumar más de lo conveniente, y a menudo la mano le tiembla mientras cava zanjas. No tiene fuerza para trabajar como otros. En verdad, como lo ha dicho Hamlin Smith, A puede hacer más trabajo en una hora que C en cuatro.

La primera vez que vi a estos hombres era una noche después de una regata. Todos habían remado en ella, y había resultado que A podía remar tanto en una hora como B en dos o C en cuatro. B y C habían llegado muertos de fatiga, y C tosía malamente. -No importa, viejo -oí que B decía-, te colocaré en el sofá y te daré un poco de té caliente. Justo en ese momento llegó A con grandes voces y balandronadas. Os digo, chicos, Hamlin Smith me ha mostrado tres cisternas en su jardín y dice que podemos bombearlas hasta mañana por la noche. Apuesto que os puedo vencer Vamos, podéis bombear con los trajes de remar, ¿sabéis? Creo que tu cisterna pierde un poco, C. Oí que B gruñía que era algo vergonzoso y que C estaba agotado, pero fueron y entonces pude decir, por el sonido del agua, que A bombeaba a una velocidad cuatro veces mayor que C.

Durant e años, después de ese día, solía verlos constantemente en la ciudad, siempre ocupados. Nunca oí que uno de ellos comiera o durmiera. Luego, a causa de una larga ausencia de casa, los perdí de vista. Cuando volvi, me sorprendió no encontrar a A, B y C en sus tareas acostumbradas. Al investigar oí decir que ese trabajo era realizado ahora por M, N y O y que algunas personas empleaban ahora para trabajos algebraicos a cuatro forasteros llamados Alfa, Beta, Gamma y Delta.

Ahora bien ocurrió cierto día que yo tropecé con el viejo D en el pequeño jardín frente a su casa., mientras tomaba sol. D es un anciano labrador que ocasionalmente era llamado para ayudar a A, B y C. ¿Si los conozco, señor? Vaya, los conozco desde que estaban en pañales El señor A era un chico muy bien aunque siempre dije: Para gentileza denme al señor B. Muchos trabajos hemos hecho juntos, señor. Aunque nunca corrí o remé, sino que hice tan sólo el trabajo simple, que podríamos decir. Estoy envejeciendo un poco y ya no estoy ágil, señor, sólo arreglar un poco el jardín y un poco de logaritmos, o encontrar un común denominador uno o dos. Pero el señor Euclides todavía me usa para sus teoremas, sí.

Por el viejo charlatán supe el fin melancólico de mis antiguos conocidos. Poco después de que dejé la ciudad -me dijo- C había enfermado. Parece que A y B habían remado en el río por una apuesta y C manejaba en el banco y se había sentado en una corriente de aire. Desde luego el banco rechazó la corriente., y C cayó enfermo. A y B volvieron a casa y encontraron a C en cama. A lo sacudió duramente y dijo: Levántate C, vamos a apilar madera. C tenía un aspecto tan cansado y lastimoso que B dijo: -Mira, A, no lo voy a permitir . esta, noche no puede apilar madera. C sonrió débilmente y dijo -Tal vez pudiera apilar si me sentara en la cama. Pero B completamente alarmado dijo: -Mira, A, voy a buscar un médico; está muriendo. A reflexionó y contestó: -No tienes dinero para el médico- Lo reduciré a sus términos menores -dijo B firmemente-. eso lo hará venir. La vida de C podría haber sido salvada, pero cometieron un error respecto a la medicina. Esta estaba en la cabecera del lecho, en una repisa y la enfermera accidentalmente la quitó de la repisa sin cambiar la señal. Después del fatal error parece que C empeoró rápidamente. Al día siguiente, por la noche, mientras las sombras invadían la pequeña habitación, era evidente que el fin estaba próximo. Creo que hasta A estaba afectado finalmente, mientras permanecía con la cabeza hundida ofreciéndose inútilmente a apostar con el médico sobre la trabajosa respiración de C. -A, murmuró C, creo que me voy. -¿A qué velocidad crees que te vas, viejo? -murmuró A -No sé -dijo C-, pero me voy de todas maneras. El fin se produjo poco después. C habló durante un momento y pidió cierto trabajo que había dejado en el piso inferior. A lo colocó en sus brazos y C expiró. Mientras su alma se dirigía al cielo, A observaba su vuelo en melancólica admiración. B estalló en un apasionado torrente de lágrimas y sollozaba: -Llevaos la pequeña linterna y los trajes de remo que solía usar. Me parece que no voy a poder cavar nunca más El entierro fue sencillo y sin ostentación No difería en nada del común, excepto que por deferencia a los deportistas y matemáticos A alquiló dos carrozas. Ambos vehículos partieron en el mismo momento, B llevando una que tenía el paralelepípedo conteniendo los últimos restos de su malogrado amigo. A, en el pescante de su carroza vacía, dio generosamente una ventaja de diez metros, pero llegó primero al cementerio conduciendo a una velocidad cuatro veces mayor que B. (Encuéntrese la distancia al cementerio)

Ya bajo el sarcófago, la tumba fue rodeada por las figuras destrozadas del primer libro de Euclides. Se notó que después de la muerte de C, A era otro hombre. Perdió interés en las carreras con B y sólo cavaba con languidez. Finalmente abandonó el trabajo para vivir con los intereses de sus apuestas. B nunca se recobró de la impresión de la muerte de C; su dolor minó su inteligencia y la desequilibró. B se hizo taciturno, y hablaba sólo en monosílabos. Su enfermedad se agravó rápidamente, y con el tiempo sólo hablaba en palabras que se deletreaban regularmente y que no presentaban dificultad para el principiante. Comprendiendo su precario estado B se sometió voluntariamente a ser recluido en un asilo, un donde abjuró de las matemáticas y se dedicó a escribir la Historia de la Failia Robinson en palabras de una sola sílaba.

Otro trabajo de la Cátedra: Cálculo Tolkieniano